Resumen: Muchas propiedades de un grupo pueden obtenerse al realizarlo como el grupo fundamental de un espacio topológico con geometría interesante. Ejemplos de esto son los grupos libres (grupos fundamentales de grafos), los grupos fundamentales de variedades hiperbólicas, y sus diversas generalizaciones. En esta charla les contaré sobre los complejos cúbicos de curvatura no positiva, una generalización combinatorial de grafos a dimensiones más altas. Se mostrarán diversos ejemplos y se esbozará el impacto de estos complejos y sus grupos fundamentales en teoría geométrica de grupos y en la topología de variedades hiperbólicas.
Sala: A-006
Resumen:
La validez predictiva se refiere al grado en que una variable predictora proporciona
información sobre una variable respuesta. Habitualmente, se cuantifica mediante índices globales
de asociación entre ambas variables, como el coeficiente de correlación.
Sin embargo, estos índices no permiten determinar cómo varía la relación predictiva a lo largo del rango de la
variable predictora.
En esta charla, se caracteriza la validez predictiva mediante el efecto
marginal, definido como la derivada de la función de media condicional.
En particular, se desarrolla esta estrategia para variables respuesta con soporte acotado. Esta formulación permite
representar la validez predictiva como una función de la variable predictora e identificar las
regiones en las que esta aporta mayor o menor información sobre la variable respuesta.
La propuesta se centra en la estimación de esta función y en la construcción de intervalos
de confianza a lo largo del rango de la variable predictora.
Asimismo, se examina cómo
la distribución de la variable respuesta determina la elección del modelo de regresión y, en
consecuencia, la forma del efecto marginal.
La metodología se ilustra con datos del sistema chileno de admisión universitaria.
En
particular, se estudia la validez predictiva de la prueba de Competencia Matemática sobre
la tasa de avance durante el primer año. Esta última se encuentra definida en el intervalo [0, 1]
y presenta observaciones en ambos extremos. La relación entre ambas variables se analiza para
carreras pertenecientes a distintas áreas del conocimiento. Los resultados muestran que la forma,
la magnitud y la incertidumbre de la función de validez predictiva varían entre estas áreas, lo
que permite obtener conclusiones que no pueden derivarse de una única medida global, como el
coeficiente de correlación.
Sala: A-008
Resumen: El Teorema de Uniformización establece que toda
superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de
las tres geometrías canónicas: el disco unitario, el plano complejo o la esfera
de Riemann. Este resultado fundamental en geometría conforme en dimensión dos
motivó naturalmente la búsqueda de fenómenos análogos en dimensiones superiores.
En esta dirección, el problema de Yamabe, planteado por H. Yamabe en 1960,
pregunta si toda variedad riemanniana compacta admite una métrica de curvatura
escalar constante dentro de una clase conforme dada.
En esta charla introduciremos una clase de ecuaciones en derivadas parciales
no lineales que surgen de manera natural en geometría conforme, con especial
énfasis en problemas de curvatura prescrita. Comenzaremos con el problema
clásico de Yamabe y la ecuación asociada a la curvatura escalar prescrita,
para luego presentar generalizaciones completamente no lineales relacionadas
con funciones simétricas de orden superior del tensor de Schouten, conocidas
como las curvaturas $\sigma_k$. Estas ecuaciones aparecen naturalmente en el
estudio de operadores conformemente covariantes y de cantidades geométricas
bajo cambios conformes de la m´etrica $g \mapsto e^{2u}g$. También revisaremos
ejemplos fundamentales, como el laplaciano conforme y operadores de orden
superior, entre ellos el operador de Paneitz, cuyos invariantes de curvatura
asociados conducen a nuevas ecuaciones geométricas no lineales. Finalmente,
presentaré algunos resultados de mi investigación en esta dirección, así como
algunos problemas abiertos y preguntas de interés que continúan siendo objeto
de estudio en el área.
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